kaoyan1basic 高等数学 第191题
📝 题目
## 第191题 (高等数学 - 选择题) 设 $\sin x \ln |x|$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则不定积分 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$ （A）$\displaystyle x \cos x \ln |x|+x \cdot \frac{\sin x}{|x|}-\sin x \ln |x|+C$ ． （B）$x \cos x \ln |x|+\sin x-\sin x \ln |x|+C$ ． （C） $\displaystyle \cos x \ln |x|-\frac{\sin x}{|x|}-\sin x \ln |x|+C$ ． （D）以上均不正确． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：由题意，$F(x)=\sin x\ln|x|$是$f(x)$的一个原函数，则$\displaystyle f(x)=F'(x)=\cos x\ln|x|+\frac{\sin x}{x}$。步骤2：$\int xf'(x)dx=xf(x)-\int f(x)dx=xf(x)-F(x)+C$。步骤3：代入得$\displaystyle x\left(\cos x\ln|x|+\frac{\sin x}{x}\right)-\sin x\ln|x|+C=x\cos x\ln|x|+\sin x-\sin x\ln|x|+C$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：由原函数求f(x)
已知F(x)=sin x ln|x|是f(x)的一个原函数，则f(x)=F'(x)=cos x ln|x| + sin x / x。
公式：f(x)=F'(x)
提示：注意ln|x|的导数为1/x，且x≠0。
步骤 2/3
目标：利用分部积分法化简不定积分
∫ x f'(x) dx = x f(x) - ∫ f(x) dx = x f(x) - F(x) + C。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：分部积分中令u=x，dv=f'(x)dx。
步骤 3/3
目标：代入表达式并化简
代入f(x)和F(x)：x (cos x ln|x| + sin x / x) - sin x ln|x| + C = x cos x ln|x| + sin x - sin x ln|x| + C。
提示：注意x * (sin x / x) = sin x。
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