kaoyan1basic 高等数学 第190题
📝 题目
## 第190题 (高等数学 - 选择题) 设 $n, m$ 为非负整数，$I_{n, m}=\int_{0}^{1} x^{n} \ln ^{m} x \mathrm{~d} x$ 是 （A）定积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{n} n!}{(n+1)^{m}}$ ． （B）定积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{m} m!}{(n+1)^{m+1}}$ ． （C）反常积分且发散． （D）反常积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{m} m!}{(n+1)^{m+1}}$ ． ## －纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$x=0$是被积函数的瑕点，因为$\lim_{x\to0^+}x^n\ln^m x=0$（$n>0$时），但需考虑$n=0$时$\ln^m x$在0附近无界，故为反常积分。步骤2：当$n,m$为非负整数时，积分收敛。令$t=-\ln x$，则$x=e^{-t}$，$dx=-e^{-t}dt$，$x\in(0,1]$对应$t\in[+\infty,0)$。步骤3：$I_{n,m}=\int_0^1 x^n\ln^m x dx=\int_{+\infty}^0 e^{-nt}(-t)^m(-e^{-t})dt=\int_0^{+\infty} t^m e^{-(n+1)t}dt$。步骤4：利用Gamma函数，$\displaystyle \int_0^{+\infty}t^m e^{-(n+1)t}dt=\frac{m!}{(n+1)^{m+1}}$，注意符号：$\ln^m x=(-1)^m t^m$，故原积分为$\displaystyle \frac{(-1)^m m!}{(n+1)^{m+1}}$。 **难度**：★★★☆☆