kaoyan1basic 高等数学 第189题
📝 题目
## 第189题 (高等数学 - 选择题) 积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{\sqrt{1-x}} \mathrm{~d} x=$ （A）$\displaystyle \frac{156}{315}$ ． （B）$\displaystyle \frac{256}{315}$ ． （C）$\displaystyle \frac{198}{315}$ ． （D）$\displaystyle \frac{208}{315}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：令$t=\sqrt{1-x}$，则$x=1-t^2$，$dx=-2t dt$，当$x=0$时$t=1$，$x=1$时$t=0$。步骤2：$\displaystyle I=\int_1^0\frac{(1-t^2)^4}{t}(-2t)dt=2\int_0^1(1-t^2)^4 dt$。步骤3：展开$(1-t^2)^4=1-4t^2+6t^4-4t^6+t^8$，积分得$\displaystyle 2\left[t-\frac{4}{3}t^3+\frac{6}{5}t^5-\frac{4}{7}t^7+\frac{1}{9}t^9\right]_0^1=2\left(1-\frac{4}{3}+\frac{6}{5}-\frac{4}{7}+\frac{1}{9}\right)$。步骤4：通分计算，分母取315，分子$2(315-420+378-180+35)=2\cdot128=256$，故$\displaystyle I=\frac{256}{315}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：通过换元简化积分
令 t = √(1-x)，则 x = 1 - t^2，dx = -2t dt。当 x=0 时 t=1，x=1 时 t=0。代入积分得 I = ∫_1^0 [(1-t^2)^4 / t] * (-2t) dt = 2 ∫_0^1 (1-t^2)^4 dt。
公式：t = √(1-x), x = 1-t^2, dx = -2t dt
提示：注意换元后积分限的变化，以及根号消去。
步骤 2/3
目标：展开被积函数并逐项积分
展开 (1-t^2)^4 = 1 - 4t^2 + 6t^4 - 4t^6 + t^8。积分得 2 [t - (4/3)t^3 + (6/5)t^5 - (4/7)t^7 + (1/9)t^9]_0^1 = 2(1 - 4/3 + 6/5 - 4/7 + 1/9)。
公式：(1-t^2)^4 = 1 - 4t^2 + 6t^4 - 4t^6 + t^8
提示：利用二项式定理展开，注意系数。
步骤 3/3
目标：通分计算数值结果
通分分母取315：1=315/315, 4/3=420/315, 6/5=378/315, 4/7=180/315, 1/9=35/315。括号内 = (315-420+378-180+35)/315 = 128/315。乘以2得 256/315。
公式：2 * (128/315) = 256/315
提示：通分时注意分子计算，避免符号错误。
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