kaoyan1basic 高等数学 第188题
📝 题目
## 第188题 (高等数学 - 选择题) I=$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x=$$ （A）$\pi$ ． （B）$\frac{\pi}{2}$ ． （C）$\frac{\pi}{4}$ ． （D）$\frac{\pi}{8}$ ． （V）纠错笔记$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$\displaystyle I=\int_0^1\frac{x}{\sqrt{x(1-x)}}dx=\int_0^1\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}dx$。步骤2：令$x=\sin^2 t$，则$dx=2\sin t\cos t dt$，当$x=0$时$t=0$，$x=1$时$\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$。步骤3：$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin t}{\cos t}\cdot2\sin t\cos t dt=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 t dt=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简被积函数
将原积分化简为 $I=\int_0^1 \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} dx$。
公式：$\frac{x}{\sqrt{x(1-x)}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}$
提示：注意 $\sqrt{x(1-x)} = \sqrt{x}\sqrt{1-x}$，分子 $x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$，约去一个 $\sqrt{x}$。
步骤 2/3
目标：变量代换
令 $x = \sin^2 t$，则 $dx = 2\sin t \cos t dt$，当 $x=0$ 时 $t=0$，$x=1$ 时 $t=\frac{\pi}{2}$。
公式：$x = \sin^2 t$，$dx = 2\sin t \cos t dt$
提示：常用三角代换：当被积函数含 $\sqrt{x}$ 和 $\sqrt{1-x}$ 时，可令 $x=\sin^2 t$。
步骤 3/3
目标：代入并计算积分
代入得 $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{\cos t} \cdot 2\sin t \cos t dt = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t dt$。利用 $\sin^2 t = \frac{1-\cos 2t}{2}$ 或公式 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t dt = \frac{\pi}{4}$，得 $I = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$。
公式：$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t dt = \frac{\pi}{4}$
提示：注意 $\sin t$ 与 $\cos t$ 约简，积分限对应正确。
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