kaoyan1basic 高等数学 第205题
📝 题目
## 第205题 (高等数学 - 选择题) 曲线 $\displaystyle y=\cos x\left(x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴所围面积被曲线 $y=a \sin x$ 等分，则 $a=$ （A）$\displaystyle \frac{2}{5}$ ． （B）$\displaystyle \frac{3}{5}$ ． （C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：曲线$y=\cos x$与坐标轴围成面积$S=\int_{0}^{\pi/2}\cos x dx = 1$。 步骤2：设$y=a\sin x$与$y=\cos x$的交点横坐标$x_0$满足$a\sin x_0=\cos x_0$，即$\tan x_0=1/a$。 步骤3：$y=a\sin x$将面积等分，即$\displaystyle \int_{0}^{x_0}(\cos x - a\sin x)dx = \frac{1}{2}$。计算得$\displaystyle \sin x_0 + a\cos x_0 - a = \frac{1}{2}$。 步骤4：由$\tan x_0=1/a$，得$\displaystyle \sin x_0=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$，$\displaystyle \cos x_0=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$，代入得$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} + \frac{a^2}{\sqrt{1+a^2}} - a = \frac{1}{2}$，即$\displaystyle \sqrt{1+a^2} - a = \frac{1}{2}$，解得$\displaystyle a=\frac{3}{4}$。 **难度**：★★★☆☆