kaoyan1basic 高等数学 第206题
📝 题目
## 第206题 (高等数学 - 选择题) 由曲线 $y=1-(x-1)^{2}$ 及直线 $y=0$ 围成图形绕 $y$ 轴旋转而成立体的体积 $V$ 是 （A） $\int_{0}^{1} \pi(1+\sqrt{1+y})^{2} \mathrm{~d} y$ ． （B） $\int_{0}^{1} \pi(1-\sqrt{1-y})^{2} \mathrm{~d} y$ ． （C） $\int_{0}^{1} \pi[(1+\sqrt{1-y})-(1-\sqrt{1-y})]^{2} \mathrm{~d} y$ ． （D） $\int_{0}^{1} \pi\left[(1+\sqrt{1-y})^{2}-(1-\sqrt{1-y})^{2}\right] \mathrm{d} y$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：曲线$y=1-(x-1)^2$，即$(x-1)^2=1-y$，解得$x=1\pm\sqrt{1-y}$，$y\in[0,1]$。 步骤2：绕$y$轴旋转体积用圆环法：$V=\int_{0}^{1}\pi[(1+\sqrt{1-y})^2-(1-\sqrt{1-y})^2]dy$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将曲线方程改写为x关于y的表达式
由曲线方程 y=1-(x-1)^2 得 (x-1)^2=1-y，解得 x=1±√(1-y)，其中 y∈[0,1]。
公式：(x-1)^2=1-y
提示：注意开方后得到两个分支，分别对应右半部分和左半部分。
步骤 2/3
目标：确定旋转体的体积积分表达式
绕y轴旋转，使用圆环法（washer method），体积微元为 π[(外半径)^2 - (内半径)^2]dy。外半径为 1+√(1-y)，内半径为 1-√(1-y)，积分区间 y∈[0,1]。
公式：V = ∫_{0}^{1} π[(1+√(1-y))^2 - (1-√(1-y))^2] dy
提示：注意区分内外半径：远离y轴的是外半径，靠近y轴的是内半径。
步骤 3/3
目标：化简被积函数
计算 (1+√(1-y))^2 - (1-√(1-y))^2 = (1+2√(1-y)+(1-y)) - (1-2√(1-y)+(1-y)) = 4√(1-y)。
公式：(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab，其中 a=1，b=√(1-y)
提示：利用平方差公式简化计算。
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