kaoyan1basic 高等数学 第207题

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📝 题目

## 第207题 (高等数学 - 选择题) 曲线 $r=a \mathrm{e}^{b \theta}(a>0, b>0)$ 从 $\theta=0$ 到 $\theta=\alpha(\alpha>0)$ 的一段弧长为 （A）$s=\int_{0}^{\alpha} a \mathrm{e}^{b \theta} \sqrt{1+b^{2}} \mathrm{~d} \theta$ ． （B）$s=\int_{0}^{\alpha} \sqrt{1+\left(a b \mathrm{e}^{b \theta}\right)} \mathrm{d} \theta$ ． （C）$s=\int_{0}^{\alpha} \sqrt{1+\left(a \mathrm{e}^{b \theta}\right)^{2}} \mathrm{~d} \theta$ ． （D）$s=\int_{0}^{a} a b \mathrm{e}^{b \theta} \sqrt{1+\left(a b \mathrm{e}^{b \theta}\right)^{2}} \mathrm{~d} \theta$ ．

💡 答案解析

**答案**：A **解析**： 步骤1：极坐标弧长公式$s=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\sqrt{r^2+(r')^2}d\theta$。 步骤2：$r=a e^{b\theta}$，$r'=ab e^{b\theta}$，则$\sqrt{r^2+(r')^2}=a e^{b\theta}\sqrt{1+b^2}$。 步骤3：$s=\int_{0}^{\alpha}a e^{b\theta}\sqrt{1+b^2}d\theta$。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：回忆极坐标下的弧长公式
极坐标曲线 r = r(θ) 从 θ=θ1 到 θ=θ2 的弧长公式为 s = ∫_{θ1}^{θ2} √(r^2 + (dr/dθ)^2) dθ。
公式：s = ∫_{θ1}^{θ2} √(r^2 + (r')^2) dθ
提示：注意公式中根号内是 r^2 加上 r 对 θ 导数的平方，不要遗漏平方项。
步骤 2/4
目标：计算 r 和 r'
已知 r = a e^{bθ}，则 r' = dr/dθ = a b e^{bθ}。
公式：r' = a b e^{bθ}
提示：指数函数求导时，注意系数 b 的出现。
步骤 3/4
目标：代入弧长公式并化简
将 r 和 r' 代入公式：√(r^2 + (r')^2) = √(a^2 e^{2bθ} + a^2 b^2 e^{2bθ}) = a e^{bθ} √(1 + b^2)。
公式：√(r^2 + (r')^2) = a e^{bθ} √(1 + b^2)
提示：提取公因式 a^2 e^{2bθ} 后开方，注意 a>0, e^{bθ}>0。
步骤 4/4
目标：写出积分表达式
弧长 s = ∫_{0}^{α} a e^{bθ} √(1 + b^2) dθ。
公式：s = ∫_{0}^{α} a e^{bθ} √(1+b^2) dθ
提示：积分上下限对应 θ 从 0 到 α。

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