kaoyan1basic 高等数学 第208题
📝 题目
## 第208题 (高等数学 - 选择题) 旋轮线的一支 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 的质心是 （A）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{4}{3} a\right)$ ． （B）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{2}{3} a\right)$ ． （C）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{5}{4} a\right)$ ． （D）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{7}{4} a\right)$ ． ## （－）纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：旋轮线一拱的弧长$L=8a$，面积$A=3\pi a^2$。 步骤2：质心横坐标$\displaystyle \bar{x}=\frac{1}{A}\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}y^2 dx$，计算得$\bar{x}=\pi a$。 步骤3：质心纵坐标$\displaystyle \bar{y}=\frac{1}{A}\int_{0}^{2\pi} x y dx$，计算得$\displaystyle \bar{y}=\frac{4}{3}a$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算旋轮线一拱的弧长和面积
旋轮线一拱对应参数 t 从 0 到 2π。弧长公式 L = ∫√(dx/dt)^2+(dy/dt)^2 dt，计算得 L=8a。面积公式 A = ∫ y dx = ∫_0^{2π} a(1-cos t) * a(1-cos t) dt = a^2 ∫_0^{2π} (1-cos t)^2 dt = 3πa^2。
公式：L = ∫_0^{2π} √(a(1-cos t))^2+(a sin t)^2 dt = 8a; A = ∫_0^{2π} y dx = 3πa^2
提示：注意旋轮线一拱的弧长和面积是常用结果，可直接记忆。
步骤 2/3
目标：计算质心横坐标
质心横坐标公式：\bar{x} = (1/A) ∫ x dA，其中 dA = y dx。由于对称性，质心横坐标位于对称轴上，即 x = πa。也可计算：\bar{x} = (1/A) ∫_0^{2π} x y dx = (1/(3πa^2)) ∫_0^{2π} a(t-sin t) * a(1-cos t) * a(1-cos t) dt = πa。
公式：\bar{x} = \frac{1}{A} \int x y dx
提示：利用对称性可快速得到横坐标。
步骤 3/3
目标：计算质心纵坐标
质心纵坐标公式：\bar{y} = (1/A) ∫ (1/2) y^2 dx。计算：\bar{y} = (1/(3πa^2)) ∫_0^{2π} (1/2) [a(1-cos t)]^2 * a(1-cos t) dt = (a/(6π)) ∫_0^{2π} (1-cos t)^3 dt = (4/3)a。
公式：\bar{y} = \frac{1}{A} \int \frac{1}{2} y^2 dx
提示：注意积分计算时利用三角恒等式简化。
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