kaoyan1basic 高等数学 第209题
📝 题目
## 第209题 (高等数学 - 选择题) 峰值为 $V_{m}$ ，周期为 $T$ 的三角形波的电压平均值为 （A）$\displaystyle \frac{V_{m}}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{V_{m}}{\sqrt{3}}$ ． （C）$\displaystyle \frac{V_{m}}{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{V_{m}}{\sqrt{2}}$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：三角形波电压在一个周期内线性变化，平均值为峰值的一半。 步骤2：设周期$T$，峰值$V_m$，则电压表达式为$\displaystyle v(t)=\frac{2V_m}{T}t$（$0\leq t\leq T/2$），$\displaystyle v(t)=2V_m-\frac{2V_m}{T}t$（$T/2\leq t\leq T$）。 步骤3：平均值$\displaystyle V_{avg}=\frac{1}{T}\int_0^T v(t)dt=\frac{V_m}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：理解三角形波电压平均值的概念
三角形波电压在一个周期内线性变化，其平均值等于峰值的一半。
提示：对于对称的三角形波，平均值是峰值的一半。
步骤 2/3
目标：写出电压表达式
设周期为T，峰值为V_m。在0≤t≤T/2时，电压从0线性增加到V_m，表达式为v(t)= (2V_m/T)t；在T/2≤t≤T时，电压从V_m线性减少到0，表达式为v(t)= 2V_m - (2V_m/T)t。
公式：v(t)= (2V_m/T)t, 0≤t≤T/2; v(t)= 2V_m - (2V_m/T)t, T/2≤t≤T
提示：注意分段函数的正确表达。
步骤 3/3
目标：计算平均值
平均值V_avg = (1/T) ∫_0^T v(t) dt。分段积分：∫_0^{T/2} (2V_m/T)t dt + ∫_{T/2}^T [2V_m - (2V_m/T)t] dt。计算得V_avg = V_m/2。
公式：V_avg = (1/T) [ (2V_m/T)*(1/2)*(T/2)^2 + (2V_m*(T/2) - (2V_m/T)*(1/2)*(T^2 - (T/2)^2) ) ] = V_m/2
提示：积分计算要仔细，注意上下限。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。