kaoyan1basic 高等数学 第210题
📝 题目
## 第210题 (高等数学 - 选择题) 半圆形闸门半径为 $R$（米），将其垂直放人水中，且直径与水面齐．设 $\rho g=1$ 。若坐标原点取在圆心，$x$ 轴正向朝下，则闸门所受压力 $p$ 为 （A） $\int_{0}^{R} \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ． （B） $\int_{0}^{R} 2 \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$. （C） $\int_{0}^{R} 2 x \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ． （D） $\int_{0}^{R} 2(R-x) \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ． ## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：半圆方程$x^2+y^2=R^2$，$x$轴正向朝下，水深为$x$，压强$p=\rho g x=x$。 步骤2：闸门宽度$2\sqrt{R^2-x^2}$，微元压力$dF=x\cdot 2\sqrt{R^2-x^2}dx$。 步骤3：总压力$F=\int_0^R 2x\sqrt{R^2-x^2}dx$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立坐标系并确定水深与压强关系
取圆心为原点，x轴正向朝下，则半圆方程为 x^2 + y^2 = R^2，y∈[-R,R]。水深为x，压强 p = ρg x，已知 ρg=1，故 p = x。
公式：p = x
提示：注意坐标轴方向，水深从水面（x=0）向下增加。
步骤 2/3
目标：确定微元面积上的压力
在深度x处，闸门宽度为 2√(R^2 - x^2)，取微元高度dx，则微元面积 dA = 2√(R^2 - x^2) dx，微元压力 dF = p dA = x * 2√(R^2 - x^2) dx。
公式：dF = 2x√(R^2 - x^2) dx
提示：宽度由半圆方程得出，注意x从0到R。
步骤 3/3
目标：积分求总压力
总压力 F = ∫ dF = ∫_0^R 2x√(R^2 - x^2) dx。
公式：F = ∫_0^R 2x√(R^2 - x^2) dx
提示：积分限从水面（x=0）到闸门底部（x=R）。
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