kaoyan1basic 高等数学 第211题
📝 题目
## 第211题 (高等数学 - 选择题) 已知 $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是方程 $y^{\prime}+p(x) y=0$ 的两个不同的特解，则该方程的通解为 （A）$y=C y_{1}(x)$ ． （B）$y=C y_{2}(x)$ ． （C）$y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)$ ． （D）$y=C\left(y_{1}(x)-y_{2}(x)\right)$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：一阶齐次线性微分方程通解为$y=Ce^{-\int p(x)dx}$。 步骤2：$y_1$和$y_2$是两个不同的特解，则$y_1-y_2$也是解且非零，通解可表示为$y=C(y_1-y_2)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别方程类型
方程 y' + p(x)y = 0 是一阶齐次线性微分方程。
提示：注意齐次线性方程的形式。
步骤 2/4
目标：写出通解形式
一阶齐次线性微分方程的通解为 y = C e^{-∫p(x)dx}，其中C为任意常数。
公式：y = C e^{-∫p(x)dx}
提示：通解中只有一个任意常数。
步骤 3/4
目标：分析特解关系
y1和y2是两个不同的特解，则它们的差 y1 - y2 也是方程的解，且非零。
提示：齐次线性方程的解的线性组合仍是解。
步骤 4/4
目标：确定通解表达式
由于通解只有一个任意常数，且 y1 - y2 是非零解，因此通解可表示为 y = C(y1 - y2)。
公式：y = C(y1 - y2)
提示：选项D正确。
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