kaoyan1basic 高等数学 第213题
📝 题目
## 第213题 (高等数学 - 选择题) 设 $y=y(x)$ 是 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0$ 的解，其中 $b, c$ 为正的常数，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)$ （A）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 有关，与 $b, c$ 无关． （B）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b, c$ 均无关． （C）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $c$ 无关，只与 $b$ 有关。 （D）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b$ 无关，只与 $c$ 有关。
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：特征方程$r^2+br+c=0$，$b,c>0$，特征根实部均为负。 步骤2：解的形式为$y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}$或含三角函数，当$x\to+\infty$时，所有项趋于0。 步骤3：$\lim_{x\to+\infty}y(x)=0$，与初值和参数无关。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析特征根的性质
写出特征方程 r^2 + b r + c = 0，由于 b, c 为正常数，判别式 Δ = b^2 - 4c 可能为正、零或负。但无论哪种情况，特征根的实部均为负（因为 b>0，若为实根则两根均为负；若为共轭复根则实部为 -b/2 < 0）。
公式：r^2 + b r + c = 0
提示：注意 b, c > 0 确保实部为负。
步骤 2/4
目标：写出解的一般形式
根据特征根的不同情况，解的形式为：
- 两个不同实根 r1, r2 < 0：y = C1 e^{r1 x} + C2 e^{r2 x}
- 重根 r = -b/2 < 0：y = (C1 + C2 x) e^{r x}
- 共轭复根 r = α ± iβ，α = -b/2 < 0：y = e^{α x}(C1 cos βx + C2 sin βx)
公式：y(x) = 根据特征根形式写出
提示：所有解都包含指数衰减因子 e^{α x}，其中 α < 0。
步骤 3/4
目标：求极限
当 x → +∞ 时，由于指数因子 e^{α x} 趋于 0（α < 0），且多项式或三角函数因子有界，因此整个解趋于 0。即 lim_{x→+∞} y(x) = 0。
公式：lim_{x→+∞} e^{α x} = 0 (α < 0)
提示：注意三角函数有界，多项式增长慢于指数衰减。
步骤 4/4
目标：得出结论
极限值为 0，与初值 y(0), y'(0) 及参数 b, c 均无关。
提示：因此选项 B 正确。
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