kaoyan1basic 高等数学 第214题
📝 题目
## 第214题 (高等数学 - 选择题) 已知 $y^{*}=\mathrm{e}^{-2 x}+\left(x^{2}+2\right) \mathrm{e}^{x}$ 是二阶常系数线性非齐次微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=(c x+$ d） $\mathrm{e}^{x}$ 的一个解，则方程中的系数 $a$ 与 $b$ 以及非齐次项中的常数 $c$ 和 $d$ 分别是 （A）$a=1, b=-2, c=6, d=2$ ． （B）$a=1, b=2, c=6, d=-2$ ． （C）$a=1, b=-2, c=-6, d=2$ ． （D）$a=1, b=-2, c=6, d=-2$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$y^*=e^{-2x}+(x^2+2)e^x$，代入方程$y''+ay'+by=(cx+d)e^x$。 步骤2：$e^{-2x}$对应齐次解，故$-2$是特征根，代入得$4-2a+b=0$。 步骤3：$(x^2+2)e^x$对应非齐次特解，代入比较系数得$a=1,b=-2,c=6,d=2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定齐次方程的特征根
已知解中包含 e^{-2x}，这是齐次解的一部分，因此 -2 是特征根。代入特征方程 r^2 + a r + b = 0，得 4 - 2a + b = 0。
公式：r^2 + a r + b = 0
提示：非齐次解中的齐次部分对应特征根。
步骤 2/4
目标：将特解代入非齐次方程
将 y* = e^{-2x} + (x^2+2)e^x 代入 y'' + a y' + b y = (c x + d) e^x。由于 e^{-2x} 满足齐次方程，只需考虑 (x^2+2)e^x 部分。计算其一阶、二阶导数，代入后比较系数。
公式：y'' + a y' + b y = (c x + d) e^x
提示：注意 e^{-2x} 项在代入后自动抵消。
步骤 3/4
目标：计算导数并代入
设 y_p = (x^2+2)e^x，则 y_p' = (x^2+2x+2)e^x，y_p'' = (x^2+4x+4)e^x。代入方程得：[(x^2+4x+4) + a(x^2+2x+2) + b(x^2+2)] e^x = (c x + d) e^x。整理得：(1+a+b)x^2 + (4+2a)x + (4+2a+2b) = c x + d。
提示：合并同类项时注意系数对应。
步骤 4/4
目标：比较系数求解
由二次项系数：1+a+b=0；一次项系数：4+2a=c；常数项：4+2a+2b=d。结合第一步的 4-2a+b=0，解方程组得 a=1, b=-2, c=6, d=2。
提示：方程组求解时先由 1+a+b=0 和 4-2a+b=0 解出 a,b。
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