kaoyan1basic 高等数学 第56题
📝 题目
### 第56题 $\displaystyle I=\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\ln|\sin x+\cos x|+C$ **解析**： 步骤1：利用恒等式$\displaystyle \sin x=\frac{1}{2}[(\sin x+\cos x)+(\sin x-\cos x)]$，则$\displaystyle \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\right)$。 步骤2：积分得$\displaystyle \frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2}\int\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}dx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\ln|\sin x+\cos x|+C$。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将被积函数拆分为简单形式
利用恒等式 sin x = 1/2[(sin x+cos x)+(sin x-cos x)]，则 sin x/(sin x+cos x) = 1/2[1 + (sin x-cos x)/(sin x+cos x)]。
公式：sin x = 1/2[(sin x+cos x)+(sin x-cos x)]
提示：注意分子分母的线性组合，通过恒等式简化积分。
步骤 2/3
目标：对拆分后的表达式进行积分
积分 I = 1/2 ∫ dx + 1/2 ∫ (sin x-cos x)/(sin x+cos x) dx。第一项为 1/2 x。第二项中，注意到 d(sin x+cos x) = (cos x - sin x) dx，所以 (sin x-cos x)/(sin x+cos x) dx = - d(sin x+cos x)/(sin x+cos x)，积分得 -ln|sin x+cos x|。因此第二项为 -1/2 ln|sin x+cos x|。
公式：∫ (sin x-cos x)/(sin x+cos x) dx = -ln|sin x+cos x| + C
提示：注意微分关系 d(sin x+cos x) = (cos x - sin x) dx，与分子差一个负号。
步骤 3/3
目标：合并结果并加上积分常数
将两项相加，得到 I = 1/2 x - 1/2 ln|sin x+cos x| + C。
提示：不要忘记积分常数 C。
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