kaoyan1basic 高等数学 第57题
📝 题目
### 第57题 I=$\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{4}+1}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\sqrt{x^4+1}}{x^2}\right|+C$ **解析**： 步骤1：令$t=x^2$，则$dt=2xdx$，但分母有$x$，故令$u=\sqrt{x^4+1}$，则$u^2=x^4+1$，$2u\,du=4x^3dx$，不直接。 步骤2：令$\displaystyle t=\frac{1}{x^2}$，则$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{t}}$，$\displaystyle dx=-\frac{1}{2}t^{-3/2}dt$，代入得$\displaystyle \int\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{t}}\sqrt{\frac{1}{t^2}+1}}\cdot\left(-\frac{1}{2}t^{-3/2}dt\right)=-\frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}$。 步骤3：积分得$\displaystyle -\frac{1}{2}\ln|t+\sqrt{1+t^2}|+C$，代回$\displaystyle t=\frac{1}{x^2}$得$\displaystyle -\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\sqrt{x^4+1}}{x^2}\right|+C$。
**难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简被积函数
令 t = 1/x^2，则 x = 1/√t，dx = -1/2 t^{-3/2} dt。代入原积分得 ∫ [1/( (1/√t) √(1/t^2 + 1) )] * (-1/2 t^{-3/2}) dt = -1/2 ∫ dt/√(1+t^2)。
公式：t = 1/x^2, dx = -1/2 t^{-3/2} dt
提示：通过倒代换简化根号内的表达式。
步骤 2/3
目标：积分基本形式
计算积分 ∫ dt/√(1+t^2) = ln|t + √(1+t^2)| + C。
公式：∫ dt/√(1+t^2) = ln|t + √(1+t^2)| + C
提示：这是基本积分公式，注意绝对值。
步骤 3/3
目标：回代变量
将 t = 1/x^2 代入结果，得 -1/2 ln|1/x^2 + √(1+1/x^4)| + C = -1/2 ln| (1 + √(x^4+1))/x^2 | + C。
公式：t = 1/x^2, √(1+t^2) = √(1+1/x^4) = √(x^4+1)/x^2
提示：注意化简根号时，x^2>0，可去掉绝对值。
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