kaoyan1basic 高等数学 第58题
📝 题目
### 第58题 设 $f(x)=x^{2}-x \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x+2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。 ✓ 纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle x^2-\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}$ **解析**： 步骤1：设$A=\int_0^2 f(x)dx$，$B=\int_0^1 f(x)dx$，则$f(x)=x^2-xA+2B$。 步骤2：两边在$[0,2]$上积分：$\displaystyle A=\int_0^2 x^2dx-A\int_0^2 xdx+2B\cdot2=\frac{8}{3}-2A+4B$，即$\displaystyle 3A-4B=\frac{8}{3}$。 步骤3：两边在$[0,1]$上积分：$\displaystyle B=\int_0^1 x^2dx-A\int_0^1 xdx+2B\cdot1=\frac{1}{3}-\frac{A}{2}+2B$，即$\displaystyle \frac{A}{2}-B=\frac{1}{3}$。 步骤4：解方程组得$\displaystyle A=\frac{4}{3}$，$\displaystyle B=\frac{1}{3}$，故$\displaystyle f(x)=x^2-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}$。
**难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：设未知积分
设 A = ∫₀² f(x) dx，B = ∫₀¹ f(x) dx，则 f(x) = x² - xA + 2B。
公式：f(x) = x² - xA + 2B
提示：将定积分视为常数，简化表达式。
步骤 2/4
目标：在[0,2]上积分
对 f(x) = x² - xA + 2B 两边在 [0,2] 上积分：A = ∫₀² x² dx - A∫₀² x dx + 2B·2 = 8/3 - 2A + 4B，整理得 3A - 4B = 8/3。
公式：A = 8/3 - 2A + 4B ⇒ 3A - 4B = 8/3
提示：注意 ∫₀² 2B dx = 2B·(2-0)=4B。
步骤 3/4
目标：在[0,1]上积分
对 f(x) = x² - xA + 2B 两边在 [0,1] 上积分：B = ∫₀¹ x² dx - A∫₀¹ x dx + 2B·1 = 1/3 - A/2 + 2B，整理得 A/2 - B = 1/3。
公式：B = 1/3 - A/2 + 2B ⇒ A/2 - B = 1/3
提示：注意 ∫₀¹ 2B dx = 2B·(1-0)=2B。
步骤 4/4
目标：解方程组
解方程组：3A - 4B = 8/3，A/2 - B = 1/3。得 A = 4/3，B = 1/3。代入 f(x) = x² - xA + 2B 得 f(x) = x² - (4/3)x + 2/3。
公式：A = 4/3, B = 1/3 ⇒ f(x) = x² - (4/3)x + 2/3
提示：注意答案中常数项为 2/3，而非 1/3。
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