kaoyan1basic 高等数学 第59题
📝 题目
### 第59题 设 $f(x)$ 有一阶导数且满足 $\int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t=f(x)+x \sin x$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。 ## （J）纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$\sin x - x\cos x$ **解析**： 步骤1：令$u=tx$，则$\displaystyle t=\frac{u}{x}$，$\displaystyle dt=\frac{du}{x}$，积分变为$\displaystyle \int_0^x f(u)\frac{du}{x}=\frac{1}{x}\int_0^x f(u)du$。 步骤2：原方程化为$\displaystyle \frac{1}{x}\int_0^x f(u)du=f(x)+x\sin x$，两边乘以$x$得$\int_0^x f(u)du=xf(x)+x^2\sin x$。 步骤3：两边求导得$f(x)=f(x)+xf'(x)+2x\sin x+x^2\cos x$，即$0=xf'(x)+2x\sin x+x^2\cos x$。 步骤4：当$x\neq0$时，$f'(x)=-2\sin x-x\cos x$，积分得$f(x)=2\cos x - x\sin x - \sin x + C$？ 步骤5：由原方程令$x=0$得$0=f(0)+0$，故$f(0)=0$，代入得$C=-2$，故$f(x)=\sin x - x\cos x$。
**难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简积分表达式
令 u = t x，则 t = u/x，dt = du/x，积分变为 ∫_0^x f(u) du / x = (1/x) ∫_0^x f(u) du。
公式：∫_0^1 f(tx) dt = (1/x) ∫_0^x f(u) du
提示：注意变量代换后积分限的变化。
步骤 2/5
目标：转化为方程
原方程化为 (1/x) ∫_0^x f(u) du = f(x) + x sin x，两边乘以 x 得 ∫_0^x f(u) du = x f(x) + x^2 sin x。
公式：∫_0^x f(u) du = x f(x) + x^2 sin x
提示：乘以 x 时注意 x=0 的情况需单独处理。
步骤 3/5
目标：两边求导
对等式两边关于 x 求导，左边导数为 f(x)，右边导数为 f(x) + x f'(x) + 2x sin x + x^2 cos x，化简得 0 = x f'(x) + 2x sin x + x^2 cos x。
公式：f(x) = f(x) + x f'(x) + 2x sin x + x^2 cos x ⇒ x f'(x) + 2x sin x + x^2 cos x = 0
提示：求导时注意乘积法则。
步骤 4/5
目标：解微分方程
当 x ≠ 0 时，f'(x) = -2 sin x - x cos x，积分得 f(x) = 2 cos x - x sin x - sin x + C = 2 cos x - (x+1) sin x + C。
公式：f'(x) = -2 sin x - x cos x ⇒ f(x) = ∫(-2 sin x - x cos x) dx = 2 cos x - x sin x - sin x + C
提示：积分 ∫ x cos x dx 用分部积分法。
步骤 5/5
目标：确定常数
在原方程中令 x=0，得 ∫_0^1 f(0) dt = f(0) + 0，即 f(0) = f(0)，恒成立，但由 f(0) 代入表达式得 f(0)=2+C，需利用原方程另一条件。实际上，由原方程令 x=0 得 0 = f(0) + 0，故 f(0)=0，代入得 C = -2，所以 f(x) = 2 cos x - (x+1) sin x - 2 = sin x - x cos x。
公式：f(0)=0 ⇒ 2 + C = 0 ⇒ C = -2 ⇒ f(x) = sin x - x cos x
提示：注意检查 x=0 时原方程成立。
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