kaoyan1basic 高等数学 第217题
📝 题目
## 第217题 (高等数学 - 选择题) 设 $a, b, c$ 为待定常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=3 x-2 \mathrm{e}^{x}$ 的特解具有形式 （A）$(a x+b) \mathrm{e}^{x}$ ． （B）$(a x+b) x \mathrm{e}^{x}$ ． （C）$(a x+b)+c \mathrm{e}^{x}$ ． （D）$(a x+b)+c x \mathrm{e}^{x}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：齐次方程$y''-3y'+2y=0$的特征方程$r^2-3r+2=0$，根$r=1,2$。 步骤2：非齐次项$3x$对应特解形式$ax+b$，$-2e^x$中$e^x$的指数1是特征根，故特解形式$cxe^x$。 步骤3：叠加得特解形式$(ax+b)+cxe^x$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出齐次方程的特征方程并求解特征根
对于齐次方程 y'' - 3y' + 2y = 0，特征方程为 r^2 - 3r + 2 = 0，解得 r = 1, 2。
公式：r^2 - 3r + 2 = 0
提示：特征根用于判断非齐次项中指数函数是否与齐次解重合。
步骤 2/4
目标：确定非齐次项 3x 对应的特解形式
非齐次项 3x 是多项式，且 λ=0 不是特征根，故特解形式为 ax + b。
公式：y_p1 = ax + b
提示：多项式特解形式与多项式同次，但需检查指数是否为特征根。
步骤 3/4
目标：确定非齐次项 -2e^x 对应的特解形式
非齐次项 -2e^x 中指数 1 是特征根（单根），故特解形式为 c x e^x。
公式：y_p2 = c x e^x
提示：当指数与特征根重合时，需乘以 x 的幂次（重根次数）。
步骤 4/4
目标：叠加得到原方程特解形式
根据叠加原理，原方程特解形式为两个特解之和：y* = (ax + b) + c x e^x。
公式：y* = (ax + b) + c x e^x
提示：注意两个特解形式独立，直接相加。
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