kaoyan1basic 高等数学 第218题
📝 题目
## 第218题 (高等数学 - 选择题) 已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$ ，而 $y(x)$满足微分方程 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ，则此曲线的方程为 （A）$y=\sin 2 x$ ． （B）$\displaystyle y=\frac{1}{2} x^{2} \mathrm{e}^{2 x}+\sin 2 x$ ． （C）$\displaystyle y=\frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3 x}$ ． （D）$y=\left(x^{2} \cos x+\sin 2 x\right) \mathrm{e}^{3 x}$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：解齐次方程$y''-6y'+9y=0$，特征方程$r^2-6r+9=0$，解得$r=3$（二重根），齐次通解为$y_h=(C_1+C_2x)e^{3x}$。 步骤2：设非齐次特解形式$y^*=Ax^2e^{3x}$，代入原方程解得$\displaystyle A=\frac{1}{2}$，故特解$\displaystyle y^*=\frac{1}{2}x^2e^{3x}$，通解$\displaystyle y=(C_1+C_2x)e^{3x}+\frac{1}{2}x^2e^{3x}$。 步骤3：由初始条件$y(0)=0$得$C_1=0$；由$y'(0)=2$（切线平行于$2x-y-5=0$，斜率$2$）得$C_2=2$，故$\displaystyle y=2xe^{3x}+\frac{1}{2}x^2e^{3x}=\frac{x}{2}(x+4)e^{3x}$。 **难度**：★★★☆☆