kaoyan1basic 高等数学 第219题
📝 题目
## 第219题 (高等数学 - 选择题) 设 $f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$ 的两个特解，$C_{1}, C_{2}$是两个任意常数，则 $C_{1} f_{1}(x)+C_{2} f_{2}(x)$ 是该方程通解的充分条件是 （A）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x)=0$ ． （B）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x)=0$ ． （C）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$ ． （D）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x) \neq 0$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$C_1f_1(x)+C_2f_2(x)$为通解的充要条件是$f_1(x)$与$f_2(x)$线性无关。 步骤2：线性无关的充要条件为Wronskian行列式$W(x)=f_1(x)f_2'(x)-f_2(x)f_1'(x)\neq0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定通解的条件
对于二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为两个线性无关特解的线性组合。因此，C1f1(x)+C2f2(x)是该方程通解的充分必要条件是f1(x)与f2(x)线性无关。
提示：注意通解的定义：通解包含所有解，因此两个特解必须线性无关。
步骤 2/3
目标：线性无关的判别方法
两个函数线性无关的充要条件是它们的Wronskian行列式不为零。Wronskian行列式定义为W(x)=f1(x)f2'(x)-f2(x)f1'(x)。
公式：W(x)=f1(x)f2'(x)-f2(x)f1'(x)≠0
提示：Wronskian行列式是判断函数线性相关性的常用工具。
步骤 3/3
目标：匹配选项
选项D为f1(x)f2'(x)-f2(x)f1'(x)≠0，与Wronskian行列式不为零一致，因此是正确选项。其他选项均不符合线性无关的条件。
提示：注意选项A和B的符号差异，A是等于0，B是加号，C是加号且不等于0，只有D是减号且不等于0。
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