kaoyan1basic 高等数学 第220题
📝 题目
## 第220题 (高等数学 - 选择题) 若 $A, B$ 为非零常数，$k$ 为常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}+k^{2} y=\cos x$ 的特解可能具有形式 （A）$A \sin x+B \cos x$ ． （B）$A x \cos x$ ． （C）$A x \sin x$ ． （D）$A x \sin x+B x \cos x$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：齐次方程$y''+k^2y=0$的特征根为$\pm ik$。 步骤2：非齐次项$\cos x$对应特征根$\pm i$。 步骤3：若$k\neq1$，特解形式为$A\cos x+B\sin x$；若$k=1$，则需乘$x$，特解形式为$Ax\cos x+Bx\sin x$。选项中仅D包含$x$因子且同时有正弦余弦项，故为可能形式。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求解齐次方程的特征根
写出齐次方程 y'' + k^2 y = 0 的特征方程 r^2 + k^2 = 0，解得特征根 r = ±ik。
公式：r^2 + k^2 = 0
提示：特征根为共轭复根，对应齐次解为三角函数形式。
步骤 2/3
目标：分析非齐次项对应的特征根
非齐次项 cos x 对应特征根 r = ±i。
公式：cos x = (e^{ix}+e^{-ix})/2
提示：非齐次项为三角函数时，需考虑其指数形式的特征根。
步骤 3/3
目标：根据k是否等于1确定特解形式
若 k ≠ 1，特征根 ±ik 与 ±i 不同，特解形式为 A cos x + B sin x；若 k = 1，特征根重合，需乘以 x，特解形式为 A x cos x + B x sin x。选项中只有D同时包含 x 因子和正弦余弦项，故为可能形式。
公式：特解形式：若重合则乘x
提示：注意区分k=1和k≠1两种情况，选项D涵盖了k=1的情况。
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