kaoyan1basic 高等数学 第222题
📝 题目
## 第222题 (高等数学 - 选择题) 具有特解 $y_{1}=\mathrm{e}^{-x}, y_{2}=2 x \mathrm{e}^{-x}, y_{3}=3 \mathrm{e}^{x}$ 的三阶常系数齐次线性微分方程是 （A）$y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ ． （B）$y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$ ． （C）$y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}-6 y=0$ ． （D）$y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：由特解$y_1=e^{-x}$，$y_2=2xe^{-x}$知$-1$为二重特征根；由$y_3=3e^x$知$1$为单根。 步骤2：特征方程为$(r+1)^2(r-1)=0$，即$r^3+r^2-r-1=0$，对应微分方程$y'''+y''-y'-y=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：根据特解确定特征根
由特解 y1 = e^{-x} 和 y2 = 2xe^{-x} 可知，-1 是二重特征根；由 y3 = 3e^x 可知，1 是单特征根。
提示：注意特解形式与特征根的关系：e^{rx} 对应单根 r，xe^{rx} 对应二重根 r。
步骤 2/4
目标：写出特征方程
特征根为 -1（二重）和 1（单根），故特征方程为 (r+1)^2 (r-1) = 0，展开得 r^3 + r^2 - r - 1 = 0。
公式：(r+1)^2 (r-1) = r^3 + r^2 - r - 1 = 0
提示：展开时注意多项式乘法。
步骤 3/4
目标：由特征方程写出微分方程
特征方程 r^3 + r^2 - r - 1 = 0 对应微分方程 y''' + y'' - y' - y = 0。
公式：y''' + y'' - y' - y = 0
提示：特征方程 r^n + a_{n-1} r^{n-1} + ... + a_0 = 0 对应微分方程 y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + ... + a_0 y = 0。
步骤 4/4
目标：选择正确选项
对比选项，B 选项为 y''' + y'' - y' - y = 0，与所得方程一致。
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