kaoyan1basic 高等数学 第223题

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📝 题目

## 第223题 (高等数学 - 选择题) 微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+x y=\frac{x}{2 y} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ 满足 $y(0)=1$ 的特解是 （A）$\displaystyle y=\left(x^{2}+1\right) \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ ． （B）$\displaystyle y=\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}+1} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^{2}}$ ． （C）$\displaystyle y=\left(\frac{1}{2} x^{2}+1\right) \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ ． （D）$\displaystyle y=\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}+1} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ ．

💡 答案解析

**答案**：C **解析**：步骤1：令$z=y^2$，则$z'=2yy'$，原方程化为$z'+2xz=xe^{-x^2}$。 步骤2：一阶线性微分方程通解$\displaystyle z=e^{-\int2xdx}\left(\int xe^{-x^2}e^{\int2xdx}dx+C\right)=e^{-x^2}\left(\int xdx+C\right)=e^{-x^2}\left(\frac{x^2}{2}+C\right)$。 步骤3：由$y(0)=1$得$z(0)=1$，代入得$C=1$，故$\displaystyle y^2=\left(\frac{x^2}{2}+1\right)e^{-x^2}$，即$\displaystyle y=\sqrt{\frac{x^2}{2}+1}\,e^{-\frac{x^2}{2}}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：将方程化为关于z的一阶线性微分方程
令z=y^2，则z'=2yy'。原方程两边乘以2y得：2yy' + 2x y^2 = x e^{-x^2}，即z' + 2x z = x e^{-x^2}。
公式：z' + 2x z = x e^{-x^2}
提示：注意y^2的导数与y'的关系，通过变量替换简化方程。
步骤 2/3
目标：求解一阶线性微分方程的通解
一阶线性微分方程z'+P(x)z=Q(x)，其中P(x)=2x，Q(x)=x e^{-x^2}。通解公式：z=e^{-∫Pdx}(∫Q e^{∫Pdx} dx + C)。计算∫Pdx = x^2，故z=e^{-x^2}(∫x e^{-x^2} e^{x^2} dx + C)=e^{-x^2}(∫x dx + C)=e^{-x^2}(x^2/2 + C)。
公式：z = e^{-x^2}(x^2/2 + C)
提示：注意积分因子e^{∫Pdx}的计算，以及简化后的积分。
步骤 3/3
目标：利用初始条件确定常数C，并得到特解
由y(0)=1得z(0)=y^2(0)=1，代入通解：1 = e^0(0 + C) => C=1。故z = e^{-x^2}(x^2/2 + 1)，即y^2 = (x^2/2 + 1)e^{-x^2}。开方得y = √(x^2/2 + 1) e^{-x^2/2}（取正，因为y(0)=1>0）。
公式：y = √(x^2/2 + 1) e^{-x^2/2}
提示：开方时注意符号，由初始条件确定正负。

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