kaoyan1basic 高等数学 第224题
📝 题目
## 第224题 (高等数学 - 选择题) 微分方程 $\left(y^{2}-1\right) \mathrm{d} x+(2 x y-\cos y) \mathrm{d} y=0$ 的通解是 （A）$y^{2} x-\sin y=C$ ． （B）$y^{2} x-\cos y=C$ ． （C）$\left(y^{2}-1\right) x-\cos y=C$ ． （D）$\left(y^{2}-1\right) x-\sin y=C$ ． 其中 $C$ 为任意常数． □
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：将方程视为关于$x$的一阶线性微分方程，写成$\displaystyle \frac{dx}{dy}+\frac{2y}{y^2-1}x=\frac{\cos y}{y^2-1}$。 步骤2：积分因子$\displaystyle \mu=e^{\int\frac{2y}{y^2-1}dy}=e^{\ln|y^2-1|}=y^2-1$。 步骤3：两边乘$\mu$得$\displaystyle (y^2-1)\frac{dx}{dy}+2yx=\cos y$，即$\displaystyle \frac{d}{dy}[(y^2-1)x]=\cos y$，积分得$(y^2-1)x=\sin y+C$，故通解$(y^2-1)x-\sin y=C$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将方程视为关于x的一阶线性微分方程
原方程 (y^2-1)dx + (2xy - cos y)dy = 0 可化为 dx/dy + [2y/(y^2-1)]x = cos y/(y^2-1)。
公式：dx/dy + P(y)x = Q(y)，其中 P(y)=2y/(y^2-1)，Q(y)=cos y/(y^2-1)
提示：注意将y视为自变量，x视为因变量。
步骤 2/5
目标：求积分因子
积分因子 μ(y) = e^{∫P(y)dy} = e^{∫[2y/(y^2-1)]dy} = e^{ln|y^2-1|} = y^2-1。
公式：μ(y) = e^{∫P(y)dy}
提示：积分时注意绝对值，但最终结果可去掉绝对值。
步骤 3/5
目标：两边乘以积分因子并化简
方程两边乘以 μ(y)=y^2-1 得 (y^2-1)dx/dy + 2yx = cos y，即 d/dy[(y^2-1)x] = cos y。
公式：d/dy[(y^2-1)x] = cos y
提示：左边是乘积的导数形式。
步骤 4/5
目标：积分求解
两边对y积分得 (y^2-1)x = ∫cos y dy = sin y + C，其中C为任意常数。
公式：∫cos y dy = sin y + C
提示：注意积分常数C。
步骤 5/5
目标：写出通解形式
整理得 (y^2-1)x - sin y = C，与选项D一致。
公式：(y^2-1)x - sin y = C
提示：通解中C为任意常数。
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