kaoyan1basic 高等数学 第225题
📝 题目
## 第225题 (高等数学 - 选择题) 方程 $x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-2 y=0$ 的通解为 （A）$y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{2 x}$ ． （B）$y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{x}$ ． （C）$y=C_{1} x+C_{2} x^{2}$ ． （D）$\displaystyle y=\frac{C_{1}}{x^{2}}+C_{2} x$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：此为欧拉方程，令$x=e^t$，则$x^2y''=y''_t-y'_t$，$xy'=y'_t$，原方程化为$y''_t+y'_t-2y=0$。 步骤2：特征方程$r^2+r-2=0$，解得$r=1$或$r=-2$，通解$y=C_1e^t+C_2e^{-2t}=C_1x+C_2x^{-2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：识别方程类型并变量替换
方程 $x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-2 y=0$ 是欧拉方程。令 $x=e^t$，则 $x^2 y'' = y''_t - y'_t$，$x y' = y'_t$，代入原方程得 $y''_t + y'_t - 2y = 0$。
公式：欧拉方程变换：$x=e^t$，$x^2 y'' = y''_t - y'_t$，$x y' = y'_t$
提示：注意欧拉方程的标准形式为 $x^2 y'' + a x y' + b y = 0$，通过变量替换化为常系数线性微分方程。
步骤 2/3
目标：求解常系数线性微分方程
特征方程为 $r^2 + r - 2 = 0$，解得 $r_1 = 1$，$r_2 = -2$。通解为 $y = C_1 e^{t} + C_2 e^{-2t}$。
公式：特征方程 $r^2 + r - 2 = 0$，根 $r_1=1$，$r_2=-2$
提示：特征方程的根为实根且不等时，通解形式为 $y = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}$。
步骤 3/3
目标：回代变量得到原方程通解
将 $t = \ln x$ 代入，得 $y = C_1 e^{\ln x} + C_2 e^{-2 \ln x} = C_1 x + C_2 x^{-2}$，即 $y = \frac{C_1}{x^2} + C_2 x$（注意常数顺序可调）。
公式：$e^{\ln x}=x$，$e^{-2\ln x}=x^{-2}$
提示：回代时注意指数运算，$e^{a \ln x} = x^a$。
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