kaoyan1basic 高等数学 第226题
📝 题目
## 第226题 (高等数学 - 选择题) 设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}}$ ，则 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=$ （A） 1 ． （B） 0 ． （C）$+\infty$ ． （D）不存在，也不为 $\infty$ ． （－）纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：当$(x,y)\to(0,0)$时，$|\sin(x^2y+y^4)|\leq|x^2y+y^4|$。 步骤2：$\displaystyle 0\leq|f(x,y)|\leq\frac{|x^2y+y^4|}{x^2+y^2}\leq\frac{x^2|y|}{x^2+y^2}+\frac{y^4}{x^2+y^2}\leq|y|+y^2\to0$，由夹逼准则得极限为0。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用三角不等式放缩分子中的正弦函数
由于 $|\sin t| \leq |t|$，令 $t = x^2 y + y^4$，则 $|\sin(x^2 y + y^4)| \leq |x^2 y + y^4|$。
公式：$|\sin t| \leq |t|$
提示：注意正弦函数的常见放缩
步骤 2/4
目标：建立绝对值不等式并放缩分母
由 $|f(x,y)| = \frac{|\sin(x^2 y + y^4)|}{x^2+y^2} \leq \frac{|x^2 y + y^4|}{x^2+y^2} \leq \frac{x^2|y|}{x^2+y^2} + \frac{y^4}{x^2+y^2}$。
公式：$\frac{|x^2 y + y^4|}{x^2+y^2} \leq \frac{x^2|y|}{x^2+y^2} + \frac{y^4}{x^2+y^2}$
提示：利用绝对值不等式拆分分子
步骤 3/4
目标：进一步放缩每一项
由于 $\frac{x^2}{x^2+y^2} \leq 1$，所以 $\frac{x^2|y|}{x^2+y^2} \leq |y|$；又 $\frac{y^4}{x^2+y^2} = y^2 \cdot \frac{y^2}{x^2+y^2} \leq y^2$。因此 $0 \leq |f(x,y)| \leq |y| + y^2$。
公式：$\frac{x^2}{x^2+y^2} \leq 1$, $\frac{y^2}{x^2+y^2} \leq 1$
提示：注意分母为正，可放缩为1
步骤 4/4
目标：应用夹逼准则求极限
当 $(x,y) \to (0,0)$ 时，$|y| + y^2 \to 0$，由夹逼准则得 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} |f(x,y)| = 0$，从而原极限为0。
公式：$\lim_{(x,y)\to(0,0)} (|y|+y^2)=0$
提示：夹逼准则：若 $0 \leq |f| \leq g$ 且 $g \to 0$，则 $f \to 0$
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