kaoyan1basic 高等数学 第227题
📝 题目
## 第227题 (高等数学 - 选择题) 设 $k$ 为常数，则极限 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2} \sin k y}{x^{2}+y^{4}}$ （A）等于 0 ． （B）等于 $\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （C）不存在． （D）存在与否和 $k$ 取值有关．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：沿路径$y=0$，极限为0。 步骤2：沿路径$x=y^2$，极限为$\displaystyle \lim_{y\to0}\frac{y^4\sin ky}{2y^4}=\frac{1}{2}\lim_{y\to0}\sin ky$，当$k\neq0$时极限不存在（振荡），故原极限不存在。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断极限是否存在，考虑不同路径下的极限值
首先，考虑沿路径 y=0 的极限。代入 y=0，分子为0，分母为 x^2，极限为0。
公式：lim_{(x,y)→(0,0)} (x·0^2·sin(k·0))/(x^2+0^4) = 0
提示：选择简单路径，如坐标轴，快速得到一个极限值。
步骤 2/3
目标：选择另一条路径 x=y^2，计算极限
代入 x=y^2，分子变为 y^2·y^2·sin(ky)=y^4 sin(ky)，分母为 y^4+y^4=2y^4，因此极限为 lim_{y→0} (y^4 sin(ky))/(2y^4) = (1/2) lim_{y→0} sin(ky)。
公式：lim_{y→0} (y^4 sin(ky))/(2y^4) = (1/2) lim_{y→0} sin(ky)
提示：选择使分母和分子次数匹配的路径，如 x=y^2，以便简化表达式。
步骤 3/3
目标：分析路径 x=y^2 下的极限是否存在
当 k=0 时，sin(ky)=0，极限为0；当 k≠0 时，sin(ky) 在 y→0 时振荡，极限不存在。因此，沿不同路径极限值不同（k≠0时，一条路径极限为0，另一条路径极限不存在），故原极限不存在。
公式：lim_{y→0} sin(ky) 不存在（k≠0）
提示：注意 sin(ky) 在 y→0 时振荡，极限不存在。
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