kaoyan1basic 高等数学 第228题
📝 题目
## 第228题 (高等数学 - 选择题) 极限 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}$ （A）不存在． （B）等于 2 ． （C）等于 $\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （D）等于 0 ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：沿路径$y=x^2$，极限为$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{2x^4}{2x^4}=1$。 步骤2：沿路径$y=0$，极限为0。不同路径极限不同，故极限不存在。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断极限是否存在，考虑不同路径下的极限值
沿路径 y = 0 计算极限：代入 y = 0，得 lim_{x→0} (2x^2 * 0)/(x^4 + 0) = 0。
提示：选择简单路径，如坐标轴。
步骤 2/3
目标：沿另一路径 y = x^2 计算极限
代入 y = x^2，得 lim_{x→0} (2x^2 * x^2)/(x^4 + x^4) = lim_{x→0} (2x^4)/(2x^4) = 1。
提示：选择使分母与分子同阶的路径。
步骤 3/3
目标：比较不同路径下的极限值
沿 y = 0 得极限 0，沿 y = x^2 得极限 1，两者不相等，因此原极限不存在。
提示：若不同路径极限不同，则极限不存在。
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