kaoyan1basic 高等数学 第229题
📝 题目
## 第229题 (高等数学 - 选择题) 极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ （A）不存在． （B）等于 1 ． （C）等于 0 ． （D）等于 2 ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：令$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，则$|xy\ln(x^2+y^2)|=|r^2\cos\theta\sin\theta\cdot2\ln r|\leq2r^2|\ln r|$。 步骤2：$\lim_{r\to0}2r^2|\ln r|=0$，由夹逼准则得原极限为0。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将极限转化为极坐标形式
令 x = r cosθ, y = r sinθ，则当 (x,y)→(0,0) 时 r→0，且 xy = r^2 cosθ sinθ，x^2+y^2 = r^2。
公式：x = r cosθ, y = r sinθ
提示：极坐标变换常用于处理含 x^2+y^2 的极限。
步骤 2/4
目标：化简表达式并放缩
|xy ln(x^2+y^2)| = |r^2 cosθ sinθ · 2 ln r| ≤ 2r^2 |ln r|，因为 |cosθ sinθ| ≤ 1。
公式：|xy ln(x^2+y^2)| ≤ 2r^2 |ln r|
提示：利用三角函数的界进行放缩。
步骤 3/4
目标：计算放缩后的极限
计算 lim_{r→0} 2r^2 |ln r| = 0（因为 r^2 ln r → 0）。
公式：lim_{r→0} r^2 ln r = 0
提示：可用洛必达法则或已知极限：r^α ln r → 0 (α>0)。
步骤 4/4
目标：应用夹逼准则
由于 0 ≤ |xy ln(x^2+y^2)| ≤ 2r^2 |ln r|，且右端极限为0，故原极限为0。
公式：夹逼准则
提示：夹逼准则适用于绝对值极限为0的情况。
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