kaoyan1basic 高等数学 第230题
📝 题目
## 第230题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）连续、偏导数存在． （B）连续、偏导数不存在． （C）不连续、偏导数存在． （D）不连续、偏导数不存在． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：沿路径$y=kx$，$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{kx^2}{x^2+k^2x^2}=\frac{k}{1+k^2}$，随$k$变化，故极限不存在，函数不连续。 步骤2：由定义$\displaystyle f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-0}{h}=0$，同理$f_y(0,0)=0$，偏导数存在。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：判断函数在(0,0)处的连续性
考虑极限lim_{(x,y)->(0,0)} f(x,y)。取路径y=kx，则f(x,kx)=kx^2/(x^2+k^2x^2)=k/(1+k^2)，极限依赖于k，故极限不存在，函数不连续。
公式：lim_{x->0} kx^2/(x^2+k^2x^2)=k/(1+k^2)
提示：选择不同路径，若极限值不同，则极限不存在。
步骤 2/2
目标：判断偏导数是否存在
由定义计算f_x(0,0)=lim_{h->0} [f(h,0)-f(0,0)]/h=lim_{h->0} (0-0)/h=0。同理f_y(0,0)=0，故偏导数存在。
公式：f_x(0,0)=lim_{h->0} [f(h,0)-0]/h=0
提示：偏导数存在只要求沿坐标轴方向极限存在，与连续性无关。
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