kaoyan1basic 高等数学 第231题
📝 题目
## 第231题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）不连续． （B）连续但偏导数不存在． （C）连续且偏导数存在但不可微． （D）可微。 答题 区 232设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$\displaystyle 0\leq|f(x,y)|\leq\frac{x^2|y|}{x^2+y^2}\leq|y|\to0$，故$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)$，连续。 步骤2：$\displaystyle f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-0}{h}=0$，同理$f_y(0,0)=0$，偏导数存在。 步骤3：考虑$\displaystyle \Delta f-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y=\frac{h^2k}{h^2+k^2}$，沿$k=h$，该增量与$\rho=\sqrt{h^2+k^2}$的比值为$\displaystyle \frac{h^3}{2h^2\cdot\sqrt{2}|h|}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{h}{|h|}$，极限不存在，故不可微。 **难度**：★★★★☆