kaoyan1basic 高等数学 第233题
📝 题目
## 第233题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）不连续． （B）连续，但偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （C）连续且偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都存在，但不可微． （D）全微分存在但一阶偏导函数 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 不连续． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$0\leq|f(x,y)|\leq|xy|\to0$，故连续。 步骤2：$\displaystyle f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-0}{h}=0$，同理$f_y(0,0)=0$，偏导数存在。 步骤3：$\displaystyle \frac{\Delta f-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y}{\rho}=\frac{hk\sin\frac{1}{\sqrt{h^2+k^2}}}{\sqrt{h^2+k^2}}\to0$（因$\displaystyle |hk|\leq\frac{h^2+k^2}{2}$），故全微分存在。 步骤4：当$(x,y)\neq(0,0)$时，$\displaystyle f_x=y\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{x^2y}{(x^2+y^2)^{3/2}}\cos\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$，沿$y=x$，当$x\to0$时第二项振荡无极限，故$f_x$在$(0,0)$处不连续。 **难度**：★★★★☆