kaoyan1basic 高等数学 第239题
📝 题目
## 第239题 (高等数学 - 选择题) 二元函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续是函数 $z=f(x, y)$ 在该点处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在的 （A）必要但非充分条件． （B）充分但非必要条件． （C）充要条件． （D）既非充分条件也非必要条件．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：连续不能推出偏导存在，例如$f(x,y)=|x|+|y|$在$(0,0)$连续但偏导不存在。 步骤2：偏导存在也不能推出连续，例如$\displaystyle f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2},&(x,y)\neq(0,0)\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$，偏导存在但不连续。 步骤3：故既非充分也非必要条件。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断连续与偏导存在的关系
首先，连续不能推出偏导存在。例如函数 f(x,y)=|x|+|y| 在 (0,0) 处连续，但偏导数不存在。
提示：考虑绝对值函数，连续但尖点处偏导不存在。
步骤 2/3
目标：判断偏导存在与连续的关系
其次，偏导存在也不能推出连续。例如函数 f(x,y)=xy/(x^2+y^2) 在 (0,0) 处偏导存在（均为0），但函数在 (0,0) 不连续。
提示：考虑分段函数，偏导存在但极限不存在。
步骤 3/3
目标：得出结论
因此，连续既不是偏导存在的充分条件，也不是必要条件，故选D。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。