kaoyan1basic 高等数学 第240题
📝 题目
## 第240题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则 （A）$f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续． （B） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 存在． （C） $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f\left(x, y_{0}\right)=\lim _{y \rightarrow y_{0}} f\left(x_{0}, y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ． （D）$f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：偏导存在不能保证连续，故A错。 步骤2：极限存在要求沿所有路径，偏导存在不能保证，故B错。 步骤3：偏导存在意味着沿坐标轴方向的一元函数可导，从而连续，故$\lim_{x\to x_0}f(x,y_0)=f(x_0,y_0)$，同理另一方向，故C正确。 步骤4：偏导存在不能保证可微，故D错。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析选项A
偏导数存在不能保证函数在该点连续，例如分段函数f(x,y)=xy/(x^2+y^2)在(0,0)处偏导存在但不连续。故A错误。
提示：偏导存在仅保证沿坐标轴方向连续，但整体连续需要更强的条件。
步骤 2/4
目标：分析选项B
极限存在要求沿所有路径趋于(x0,y0)时极限值相等，偏导存在不能保证，例如f(x,y)=xy/(x^2+y^2)在(0,0)处偏导存在但极限不存在。故B错误。
提示：二元函数极限存在需要所有路径，偏导只考虑坐标轴方向。
步骤 3/4
目标：分析选项C
偏导存在意味着一元函数f(x,y0)在x0处可导，从而连续，即lim_{x→x0}f(x,y0)=f(x0,y0)；同理lim_{y→y0}f(x0,y)=f(x0,y0)。故C正确。
提示：偏导定义本质是一元函数导数，利用一元函数连续性质。
步骤 4/4
目标：分析选项D
可微需要偏导连续或更强的条件，仅偏导存在不能保证可微，例如f(x,y)=xy/(x^2+y^2)在(0,0)处偏导存在但不可微。故D错误。
提示：可微是更强的条件，需要偏导连续或满足可微定义。
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