kaoyan1basic 高等数学 第241题
📝 题目
## 第241题 (高等数学 - 选择题) 函数 $f(x, y)$ 的两个偏导数在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续是函数 $f(x, y)$ 在该点处可微的 （A）充分但非必要条件． （B）必要但非充分条件． （C）充分必要条件． （D）既不充分也不必要条件．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：偏导数连续是可微的充分条件，但不是必要条件（例如$\displaystyle f(x,y)=(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}$在$(0,0)$可微但偏导不连续）。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：判断偏导数连续与可微的关系
根据多元函数微分学定理，若函数f(x,y)的两个偏导数在点(x0,y0)处连续，则函数在该点可微。反之，可微不一定推出偏导数连续，例如函数f(x,y)=(x^2+y^2)sin(1/(x^2+y^2))在(0,0)处可微但偏导数不连续。因此偏导数连续是可微的充分但非必要条件。
提示：记住典型反例：f(x,y)=(x^2+y^2)sin(1/(x^2+y^2))在(0,0)处可微但偏导不连续。
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