kaoyan1basic 高等数学 第242题
📝 题目
## 第242题 (高等数学 - 选择题) 设函数 $f(x, y)$ 可微，且对任意 $x, y$ 都有 $\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}>0, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y}<0$ ，则使不等式 $f\left(x_{1}, y_{1}\right)
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：由$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}>0$知$f$关于$x$单调递增，由$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}<0$知$f$关于$y$单调递减。 步骤2：要使$f(x_1,y_1)
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析偏导数符号与函数单调性的关系
由 ∂f/∂x > 0 知 f 关于 x 单调递增，即 x 越大 f 越大；由 ∂f/∂y < 0 知 f 关于 y 单调递减，即 y 越大 f 越小。
公式：∂f/∂x > 0 ⇒ f(x1,y) < f(x2,y) 当 x1 < x2；∂f/∂y < 0 ⇒ f(x,y1) > f(x,y2) 当 y1 < y2
提示：注意偏导数的符号决定单调性：正号表示递增，负号表示递减。
步骤 2/3
目标：推导使不等式成立的条件
欲使 f(x1,y1) < f(x2,y2)，可先固定 y 比较 x，再固定 x 比较 y。例如，若 x1 < x2 且 y1 > y2，则 f(x1,y1) < f(x2,y1)（因为 x1 < x2 且 f 关于 x 递增），且 f(x2,y1) < f(x2,y2)（因为 y1 > y2 且 f 关于 y 递减），从而 f(x1,y1) < f(x2,y2)。
公式：x1 < x2 且 y1 > y2 ⇒ f(x1,y1) < f(x2,y2)
提示：利用单调性传递不等式，注意中间变量选择。
步骤 3/3
目标：匹配选项
选项 D 为 x1 < x2, y1 > y2，符合推导的条件。其他选项均不满足。
提示：逐一验证选项，确保同时满足 x 递增和 y 递减的要求。
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