kaoyan1basic 高等数学 第245题

**答案**：C **解析**： 步骤1：令$u=x+1$，$v=\ln(1+x)$，则当$x=0$时，$u=1$，$v=0$，且$f(u,v)=(1+x)^3+x\ln(1+x)(1+x)^{\ln(1+x)}$，将$x=u-1$代入得$f(u,v)=u^3+(u-1)\ln u\cdot u^{\ln u}$。 步骤2：对$u$求偏导，在$(1,0)$处，$\displaystyle f_u(1,0)=3u^2|_{u=1}+[(\ln u)\cdot u^{\ln u}+(u-1)\cdot\frac{d}{du}(u^{\ln u})]|_{u=1}=3+0=3$。 步骤3：另一条件：令$s=x^2$，$t=x-1$，则当$x=1$时，$s=1$，$t=0$，且$f(s,t)=x^4 e^{x-1}+(x-1)(x^2-1)x^{2(x-1)}$，代入$x=t+1$得$f(s,t)=(t+1)^4 e^t + t[(t+1)^2-1](t+1)^{2t}$。 步骤4：对$s$求偏导，注意$s=(t+1)^2$，需用链式法则。但更简单：由$f(1,0)$已知，且由第一式得$f(1,0)=1^3+0=1$。 步骤5：由第二式，对$t$求导，在$t=0$处：$\displaystyle f_s\cdot\frac{ds}{dt}+f_t=...$，其中$\displaystyle \frac{ds}{dt}=2(t+1)=2$，$f_t$可直接求导：$(t+1)^4 e^t$导数为$4(t+1)^3 e^t+(t+1)^4 e^t$，在$t=0$时为$4+1=5$；后一项$t[(t+1)^2-1](t+1)^{2t}$，在$t=0$时为0，其导数需用乘积法则，但整体在$t=0$处导数为$[(t+1)^2-1](t+1)^{2t}+t\cdot...$，第一项在$t=0$时为0，故后一项导数为0。故$f_t(1,0)=5$。 步骤6：由链式法则：$f_s\cdot 2 + f_t = 5$，即$2f_s(1,0)+5=5$，得$f_s(1,0)=0$。 步骤7：故$df(1,0)=f_u du+f_s ds$，但注意变量对应：$f(u,v)$中$u$对应第一自变量，$s$对应第二自变量？实际上$f$是二元函数，第一自变量在第一个条件中为$u$，第二个条件中为$s$，故$f_1(1,0)=3$，$f_2(1,0)=0$，因此$df(1,0)=3dx+0dy$？但选项无此，需重新检查。 步骤8：注意题目中$f(x+1,\ln(1+x))$和$f(x^2,x-1)$，$f$的两个自变量位置固定。由第一式得$f_1(1,0)=3$，由第二式得$f_1(1,0)\cdot2x|_{x=1}+f_2(1,0)\cdot1=...$，即$2f_1(1,0)+f_2(1,0)=5$，代入$f_1=3$得$f_2(1,0)=-1$，故$df(1,0)=3dx-dy$，选项C为$dx-dy$，不符。但选项C是$dx-dy$，而$3dx-dy$不在选项中，可能计算有误。 步骤9：重新计算第二式导数：$f(x^2,x-1)=x^4 e^{x-1}+(x-1)(x^2-1)x^{2(x-1)}$，对$x$求导：左边=$f_1\cdot2x+f_2\cdot1$，在$x=1$处，$2f_1(1,0)+f_2(1,0)$。右边：第一项导数为$4x^3 e^{x-1}+x^4 e^{x-1}$，在$x=1$时为$4+1=5$；第二项$g(x)=(x-1)(x^2-1)x^{2(x-1)}$，在$x=1$时为0，其导数$\displaystyle g'(1)=\lim_{x\to1}\frac{g(x)-0}{x-1}=\lim_{x\to1}(x^2-1)x^{2(x-1)}=0$，故右边导数为5。所以$2f_1(1,0)+f_2(1,0)=5$，由第一式$f_1(1,0)=3$得$f_2(1,0)=-1$，故$df(1,0)=3dx-dy$，但选项无此，可能第一式求$f_1$有误。 步骤10：第一式：$f(x+1,\ln(1+x))=(1+x)^3+x\ln(1+x)(1+x)^{\ln(1+x)}$，令$t=x$，则$u=1+t$，$v=\ln(1+t)$，对$t$求导：$\displaystyle f_1\cdot1+f_2\cdot\frac{1}{1+t}=3(1+t)^2+\ln(1+t)(1+t)^{\ln(1+t)}+x\cdot\frac{d}{dt}[\ln(1+t)(1+t)^{\ln(1+t)}]$，在$t=0$时，$f_1(1,0)+f_2(1,0)\cdot1=3+0+0=3$，故$f_1(1,0)+f_2(1,0)=3$。与第二式联立：$2f_1+f_2=5$，$f_1+f_2=3$，解得$f_1=2$，$f_2=1$，故$df(1,0)=2dx+dy$，对应选项D。 **难度**：★★★★☆