kaoyan1basic 高等数学 第244题
📝 题目
## 第244题 (高等数学 - 选择题) 已知方程 $\displaystyle f\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right)=0$ 确定了函数 $z=z(x, y), f(u, v)$ 可微，则 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$ （A）$z$ ． （B）$-z$ ． （C）$y$ ． （D）$-y$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：方程$\displaystyle f\left(\frac{y}{x},\frac{z}{x}\right)=0$两边对$x$求偏导：$\displaystyle f_u\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right)+f_v\cdot\left(\frac{z_x x - z}{x^2}\right)=0$，得$f_u(-y)+f_v(x z_x - z)=0$。 步骤2：对$y$求偏导：$\displaystyle f_u\cdot\frac{1}{x}+f_v\cdot\frac{z_y}{x}=0$，得$f_u + f_v z_y=0$。 步骤3：由步骤2得$f_u=-f_v z_y$，代入步骤1：$(-f_v z_y)(-y)+f_v(x z_x - z)=0$，即$f_v(y z_y + x z_x - z)=0$，因$f_v\neq0$，故$x z_x+y z_y=z$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：对x求偏导
方程f(y/x, z/x)=0两边对x求偏导，注意z是x,y的函数。得到f_u·(-y/x^2) + f_v·((z_x x - z)/x^2)=0，两边乘以x^2得：-y f_u + (x z_x - z) f_v = 0。
公式：-y f_u + (x z_x - z) f_v = 0
提示：使用链式法则，注意z对x的偏导z_x。
步骤 2/3
目标：对y求偏导
方程对y求偏导，得到f_u·(1/x) + f_v·(z_y/x)=0，两边乘以x得：f_u + f_v z_y = 0。
公式：f_u + f_v z_y = 0
提示：注意z对y的偏导z_y。
步骤 3/3
目标：消去f_u和f_v
由第二步得f_u = -f_v z_y，代入第一步：-y(-f_v z_y) + (x z_x - z) f_v = 0，即y f_v z_y + x f_v z_x - z f_v = 0，因f_v≠0，两边除以f_v得：x z_x + y z_y = z。
公式：x ∂z/∂x + y ∂z/∂y = z
提示：假设f_v≠0，否则方程可能不成立。
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