kaoyan1basic 高等数学 第247题
📝 题目
## 第247题 (高等数学 - 选择题) 设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)}{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}=-2$ ，则 （A）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （B）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 存在但不为零。 （C）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点取极大值． （D）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点取极小值．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由极限式，分母$\displaystyle 1-\cos\sqrt{x^2+y^2}\sim\frac{1}{2}(x^2+y^2)$，故$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\frac{1}{2}(x^2+y^2)}=-2$，即$f(x,y)\sim -(x^2+y^2)$。 步骤2：由于$f(0,0)=0$（由连续性），在$(0,0)$附近$f(x,y)<0$，故$(0,0)$为极大值点。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用等价无穷小化简极限式
当$(x,y)\to(0,0)$时，$\sqrt{x^2+y^2}\to0$，由等价无穷小：$1-\cos t \sim \frac{1}{2}t^2$，所以$1-\cos\sqrt{x^2+y^2}\sim \frac{1}{2}(x^2+y^2)$。代入极限得：$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\frac{1}{2}(x^2+y^2)}=-2$，即$f(x,y)\sim -(x^2+y^2)$。
公式：$1-\cos t \sim \frac{1}{2}t^2$
提示：注意分母的等价无穷小替换，将极限转化为$f(x,y)$与$x^2+y^2$的关系。
步骤 2/3
目标：确定$f(0,0)$的值
由$f(x,y)$在$(0,0)$连续，且极限存在，可知$f(0,0)=\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0$。
提示：连续性保证极限值等于函数值。
步骤 3/3
目标：判断极值
由$f(x,y)\sim -(x^2+y^2)$，在$(0,0)$附近，$f(x,y)<0=f(0,0)$，所以$(0,0)$是极大值点。
提示：极值的定义：若在邻域内函数值均小于（或大于）该点函数值，则为极大（小）值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。