kaoyan1basic 高等数学 第248题
📝 题目
## 第248题 (高等数学 - 选择题) 下列命题正确的是 （A）若 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $f(x, y)$ 的极值点，则 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 必为 $f(x, y)$ 的驻点． （B）若 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $f(x, y)$ 的驻点，则 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 必为 $f(x, y)$ 的极值点． （C）若 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为有界闭区域 $D$ 上连续的函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 内部唯一的极值点，且 $f(x, y)$在该点取极大值，则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 取得它在 $D$ 上的最大值． （D）若 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 取得极小值，则 $f\left(x, y_{0}\right)$ 在 $x=x_{0}$ 处取极小值，$f\left(x_{0}, y\right)$ 在 $y=y_{0}$ 处取极小值．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：A错误，极值点不一定可导，故不一定为驻点。 步骤2：B错误，驻点不一定是极值点。 步骤3：C错误，内部唯一极值点不一定是整体最值，需考虑边界。 步骤4：D正确，若$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$取极小值，则固定$y=y_0$，$f(x,y_0)$在$x=x_0$取极小值，同理另一方向。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断选项A的正确性
极值点不一定可导，例如f(x,y)=|x|+|y|在(0,0)处取极小值，但不可导，故不是驻点。因此A错误。
提示：注意极值点与驻点的关系：可导的极值点才是驻点。
步骤 2/4
目标：判断选项B的正确性
驻点不一定是极值点，例如f(x,y)=x^2-y^2在(0,0)处，一阶偏导为0，但该点不是极值点（鞍点）。因此B错误。
提示：驻点可能是鞍点，需用二阶偏导判别。
步骤 3/4
目标：判断选项C的正确性
有界闭区域上连续函数的最值可能在边界上取得，内部唯一极值点不一定是整体最值。例如，f(x,y)=x^2-y^2在单位圆盘内，内部有唯一极值点(0,0)但非最值。因此C错误。
提示：最值需考虑边界，内部极值点不一定是最值。
步骤 4/4
目标：判断选项D的正确性
若f(x,y)在(x0,y0)取极小值，则固定y=y0时，f(x,y0)在x=x0处取极小值；同理固定x=x0时，f(x0,y)在y=y0处取极小值。这是极小值的定义。因此D正确。
提示：多元函数极值定义：沿任何方向都取极小值。
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