kaoyan1basic 高等数学 第249题
📝 题目
## 第249题 (高等数学 - 选择题) 设 $F(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ．若一元函数 $y=y(x)$ 是由方程 $F(x, y)=0$ 所确定的在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 附近的隐函数，则 $x_{0}$ 是函数 $y=y(x)$ 的极小值点的一个充分条件是 （A）$F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ． （B）$F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ ． （C）$F_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ． （D）$F_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：由隐函数求导公式，$\displaystyle y'(x)=-\frac{F_x}{F_y}$，在$(x_0,y_0)$处$F_x=0$，故$y'(x_0)=0$。 步骤2：二阶导数$\displaystyle y''(x)=-\frac{F_{xx}F_y - F_xF_{xy}}{F_y^2}$，在$(x_0,y_0)$处$F_x=0$，故$\displaystyle y''(x_0)=-\frac{F_{xx}(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}$。 步骤3：由$F_y>0$，要使$x_0$为极小值点，需$y''(x_0)>0$，即$\displaystyle -\frac{F_{xx}}{F_y}>0$，故$F_{xx}<0$。但选项A为$F_{xx}>0$，B为$F_{xx}<0$，故应选B。 步骤4：注意：$y=y(x)$的极小值点对应$x_0$，需$y'(x_0)=0$且$y''(x_0)>0$，由上式得$F_{xx}<0$，故选B。 **难度**：★★★☆☆