kaoyan1basic 高等数学 第250题
📝 题目
## 第250题 (高等数学 - 选择题) 函数 $f(x, y)=k x^{2}+y^{3}-3 y$ 在点 $(0,1)$ 处 （A）取极大值． （B）取极小值． （C）不取得极值． （D）是否取得极值与 $k$ 取值有关．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：计算一阶偏导数，$f_x=2kx$，$f_y=3y^2-3$，在点$(0,1)$处，$f_x(0,1)=0$，$f_y(0,1)=0$，故$(0,1)$是驻点。 步骤2：计算二阶偏导数，$f_{xx}=2k$，$f_{xy}=0$，$f_{yy}=6y$，在点$(0,1)$处，$A=f_{xx}=2k$，$B=0$，$C=f_{yy}=6$，判别式$AC-B^2=12k$。 步骤3：当$k>0$时，$AC-B^2>0$且$A>0$，取极小值；当$k<0$时，$AC-B^2<0$，不取极值；当$k=0$时，$AC-B^2=0$，需进一步判断。因此是否取得极值与$k$取值有关。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：验证驻点
计算一阶偏导数：f_x = 2kx，f_y = 3y^2 - 3。在点(0,1)处，f_x(0,1)=0，f_y(0,1)=0，故(0,1)是驻点。
公式：f_x=2kx, f_y=3y^2-3
提示：驻点条件是所有一阶偏导数为0。
步骤 2/3
目标：计算二阶偏导数
计算二阶偏导数：f_xx=2k，f_xy=0，f_yy=6y。在点(0,1)处，A=f_xx=2k，B=0，C=f_yy=6。
公式：f_xx=2k, f_xy=0, f_yy=6y
提示：注意f_yy在点(0,1)处值为6。
步骤 3/3
目标：应用极值判别法
计算判别式AC-B^2=2k*6-0=12k。当k>0时，AC-B^2>0且A>0，取极小值；当k<0时，AC-B^2<0，不取极值；当k=0时，AC-B^2=0，需进一步判断。因此是否取得极值与k有关。
公式：AC-B^2=12k
提示：AC-B^2>0且A>0为极小值；AC-B^2<0非极值；AC-B^2=0需其他方法。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。