kaoyan1basic 高等数学 第251题
📝 题目
## 第251题 (高等数学 - 选择题) 函数 $f(x, y)=1+x+y$ 在区域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上的最大值与最小值之积为 （A）-1 ． （B） 1 ． （C） $1+\sqrt{2}$ ． （D） $1-\sqrt{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：在闭区域上求最值，先求内部驻点。令$f_x=1=0$，$f_y=1=0$，无解，故内部无极值点。 步骤2：在边界$x^2+y^2=1$上，令$x=\cos\theta$，$y=\sin\theta$，则$\displaystyle f=1+\cos\theta+\sin\theta=1+\sqrt{2}\sin(\theta+\frac{\pi}{4})$，最大值为$1+\sqrt{2}$，最小值为$1-\sqrt{2}$。 步骤3：最大值与最小值之积为$(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1-2=-1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求内部驻点
令偏导数为0：f_x=1=0，f_y=1=0，无解，故内部无极值点。
提示：偏导数恒不为0，说明内部无驻点。
步骤 2/3
目标：求边界上的最值
在边界x^2+y^2=1上，令x=cosθ，y=sinθ，则f=1+cosθ+sinθ=1+√2 sin(θ+π/4)，最大值为1+√2，最小值为1-√2。
公式：f=1+√2 sin(θ+π/4)
提示：利用三角恒等变换简化表达式。
步骤 3/3
目标：计算最大值与最小值之积
最大值与最小值之积为(1+√2)(1-√2)=1-2=-1。
公式：(1+√2)(1-√2)=1-2=-1
提示：平方差公式。
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