kaoyan1basic 高等数学 第252题
📝 题目
## 第252题 (高等数学 - 选择题) 函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{-x y}$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上的最大值是 （A） $\mathrm{e}^{2}$ ． （B）e． （C） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{4}}$ ． （D） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：函数$f(x,y)=e^{-xy}$，指数$-xy$在区域$D$上求最大值等价于求$-xy$的最大值，即求$xy$的最小值。 步骤2：区域$D:4x^2+y^2\leq1$，考虑$xy$在边界上的最小值。由拉格朗日乘数法或不等式，当$4x^2=y^2$时，即$y=\pm2x$，代入边界得$\displaystyle x^2=\frac{1}{8}$，$\displaystyle xy=2x^2=\frac{1}{4}$或$\displaystyle xy=-2x^2=-\frac{1}{4}$。$xy$的最小值为$\displaystyle -\frac{1}{4}$。 步骤3：$-xy$的最大值为$\displaystyle \frac{1}{4}$，故$f$的最大值为$\displaystyle e^{\frac{1}{4}}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将原问题转化为求指数部分的最大值
函数 f(x,y)=e^{-xy} 在区域 D 上的最大值等价于求指数 -xy 的最大值，即求 xy 的最小值。
公式：max e^{-xy} = e^{max(-xy)} = e^{-min(xy)}
提示：指数函数单调递增，因此最大值在指数最大时取得。
步骤 2/3
目标：在区域边界上求 xy 的最小值
区域 D: 4x^2+y^2 ≤ 1，考虑边界 4x^2+y^2=1。由拉格朗日乘数法或不等式，当 4x^2=y^2 时 xy 可能取极值。令 y=±2x，代入边界得 4x^2+4x^2=1 ⇒ 8x^2=1 ⇒ x^2=1/8，则 xy=2x^2=1/4 或 xy=-2x^2=-1/4。xy 的最小值为 -1/4。
公式：4x^2+y^2=1, y=±2x ⇒ x^2=1/8, xy=±1/4
提示：注意 xy 在椭圆上的最小值可能为负，因为椭圆关于原点对称。
步骤 3/3
目标：计算函数的最大值
xy 的最小值为 -1/4，则 -xy 的最大值为 1/4，故 f 的最大值为 e^{1/4}。
公式：f_max = e^{-(-1/4)} = e^{1/4}
提示：最终结果对应选项 C。
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