kaoyan1basic 高等数学 第253题
📝 题目
## 第253题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x, y)=x^{3}-4 x^{2}+2 x y-y^{2}$ ，区域 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 4,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则下面结论正确的是 （A）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点且是 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 的最大值点． （B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点但不是 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 的最大值点． （C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点． （D）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点，但不是极值点．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：求驻点，$f_x=3x^2-8x+2y=0$，$f_y=2x-2y=0$，解得驻点$(0,0)$和$(2,2)$，但$(2,2)$不在区域$D$内。 步骤2：在$(0,0)$处，$A=f_{xx}=-8$，$B=f_{xy}=2$，$C=f_{yy}=-2$，$AC-B^2=16-4=12>0$，且$A<0$，故$(0,0)$是极大值点，$f(0,0)=0$。 步骤3：在区域$D$边界上，例如$x=4$，$y=0$时，$f(4,0)=64-64=0$；$x=-1$，$y=1$时，$f(-1,1)=-1-4-2-1=-8$；$x=4$，$y=1$时，$f(4,1)=64-64+8-1=7>0$，故$(0,0)$不是最大值点。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求驻点
对f(x,y)求偏导：f_x=3x^2-8x+2y=0，f_y=2x-2y=0。由f_y=0得y=x，代入f_x得3x^2-8x+2x=3x^2-6x=0，解得x=0或x=2，对应y=0或y=2。驻点为(0,0)和(2,2)，但(2,2)不在区域D内。
公式：f_x=3x^2-8x+2y=0, f_y=2x-2y=0
提示：解方程组时注意代入消元。
步骤 2/3
目标：判断(0,0)是否为极值点
计算二阶偏导：f_xx=6x-8，f_xy=2，f_yy=-2。在(0,0)处，A=f_xx=-8，B=f_xy=2，C=f_yy=-2。判别式AC-B^2=(-8)*(-2)-4=16-4=12>0，且A<0，故(0,0)是极大值点，f(0,0)=0。
公式：AC-B^2=12>0, A<0
提示：AC-B^2>0且A<0为极大值，A>0为极小值。
步骤 3/3
目标：判断(0,0)是否为区域D上的最大值点
考虑边界上的点：例如x=4,y=0时，f(4,0)=64-64+0-0=0；x=4,y=1时，f(4,1)=64-64+8-1=7>0；x=-1,y=1时，f(-1,1)=-1-4-2-1=-8。存在边界点函数值大于0，故(0,0)不是最大值点。
提示：边界点需检查所有边界，包括线段端点。
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