kaoyan1basic 高等数学 第254题
📝 题目
## 第254题 (高等数学 - 选择题) 已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 某邻域内连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)+4 x^{2}-y^{2}}{x^{4}+x^{2} y^{2}+y^{4}}=1$ ，则 （A）点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点． （B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点． （C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点． （D）所给条件不足以判断点 $(0,0)$ 是否为 $f(x, y)$ 的极值点．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：由极限式，当$(x,y)\to(0,0)$时，$f(x,y)+4x^2-y^2$与$x^4+x^2y^2+y^4$为同阶无穷小，故$f(0,0)=0$。 步骤2：在$(0,0)$附近，$f(x,y)=-4x^2+y^2+o(x^4+y^4)$，忽略高阶项，$f(x,y)\approx -4x^2+y^2$。 步骤3：沿路径$y=0$，$f(x,0)\approx -4x^2<0$；沿路径$x=0$，$f(0,y)\approx y^2>0$，故$(0,0)$不是极值点。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定f(0,0)的值
由极限式，当(x,y)→(0,0)时，分子f(x,y)+4x^2-y^2与分母x^4+x^2y^2+y^4为同阶无穷小，且分母趋于0，故分子也趋于0。由连续性，f(0,0)=lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y)=0。
公式：f(0,0)=0
提示：利用极限和连续性得出f(0,0)=0。
步骤 2/3
目标：写出f(x,y)在(0,0)附近的近似表达式
由极限为1，得f(x,y)+4x^2-y^2 = (x^4+x^2y^2+y^4) + o(x^4+y^4)，所以f(x,y) = -4x^2+y^2 + (x^4+x^2y^2+y^4) + o(x^4+y^4)。忽略高阶项，f(x,y) ≈ -4x^2+y^2。
公式：f(x,y) ≈ -4x^2+y^2
提示：注意高阶无穷小不影响极值判断。
步骤 3/3
目标：沿不同路径考察f(x,y)的符号
沿路径y=0，f(x,0) ≈ -4x^2 < 0（x≠0）；沿路径x=0，f(0,y) ≈ y^2 > 0（y≠0）。因此在(0,0)的任意邻域内，f可取正值和负值，故(0,0)不是极值点。
提示：通过特殊路径判断函数值符号变化。
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