kaoyan1basic 高等数学 第255题
📝 题目
## 第255题 (高等数学 - 选择题) 设有三个正数 $x, y, z$ 满足 $x+y+z=a$ ，其中 $a>0$ 为常数，又 $$ x y z \leqslant b $$ 则 $b$ 的最小取值是 （A）$\displaystyle \frac{a^{3}}{21}$ ． （B）$\displaystyle \frac{a^{3}}{18}$ ． （C）$\displaystyle \frac{a^{3}}{9}$ ． （D）$\displaystyle \frac{a^{3}}{27}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：由均值不等式，对于正数$x,y,z$，有$\displaystyle \sqrt[3]{xyz}\leq\frac{x+y+z}{3}=\frac{a}{3}$，即$\displaystyle xyz\leq\frac{a^3}{27}$。 步骤2：不等式$xyz\leq b$恒成立，则$b$的最小值应不小于$xyz$的最大值，即$\displaystyle b_{\min}=\frac{a^3}{27}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：应用均值不等式求xyz的最大值
对于正数x, y, z，由均值不等式，有 ∛(xyz) ≤ (x+y+z)/3 = a/3，即 xyz ≤ a³/27。
公式：∛(xyz) ≤ (x+y+z)/3
提示：注意均值不等式取等条件为x=y=z=a/3。
步骤 2/2
目标：确定b的最小值
不等式 xyz ≤ b 恒成立，则b的最小值应不小于xyz的最大值，即 b_min = a³/27。
提示：b的最小值等于xyz的最大值。
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