kaoyan1basic 高等数学 第256题
📝 题目
## 第256题 (高等数学 - 选择题) 设 $D$ 是 $x O y$ 平面上以 $(1,1),(-1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 为顶点的三角形区域，$D_{1}$ 是 $D$ 在第一象限的部分，则 $\iint_{D}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} \sigma$ 等于 （A） $2 \iint_{D_{1}} \cos x \sin y \mathrm{~d} \sigma$ ． （B） $2 \iint_{D_{1}} x y \mathrm{~d} \sigma$ ． （C） $4 \iint_{D_{1}}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} \sigma$ ． （D） 0 ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：区域$D$关于$x$轴对称，也关于$y$轴对称，且关于原点对称。 步骤2：$xy$关于$x$和$y$均为奇函数，在对称区域上积分为0；$\cos x\sin y$关于$x$为偶函数，关于$y$为奇函数，在关于$x$轴对称的区域上，$\cos x\sin y$为$y$的奇函数，积分为0，但$D$关于$y$轴也对称，需注意。实际上，$D$关于原点对称，$\cos x\sin y$是奇函数？检查：$\cos(-x)\sin(-y)=\cos x(-\sin y)=-\cos x\sin y$，故为奇函数，在关于原点对称的区域上积分为0。但$D_1$为第一象限部分，原积分等于$2\iint_{D_1}\cos x\sin y d\sigma$（因为$xy$积分为0，$\cos x\sin y$在$D$上积分等于$2$倍$D_1$上的积分）。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
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