kaoyan1basic 高等数学 第257题
📝 题目
## 第257题 (高等数学 - 选择题) 累次积分 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ 可写成 （A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （C） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （D） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：第一个积分区域：$0\leq x\leq1$，$x\leq y\leq1$；第二个积分区域：$1\leq y\leq2$，$0\leq x\leq2-y$。 步骤2：画出积分区域，整体区域由$x=0$，$y=1$，$y=x$，$x+y=2$围成，且$0\leq x\leq1$，$x\leq y\leq2-x$。 步骤3：化为先$y$后$x$的积分：$\int_0^1 dx\int_x^{2-x} f(x,y)dy$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析积分区域
第一个积分区域：0≤x≤1，x≤y≤1；第二个积分区域：1≤y≤2，0≤x≤2-y。
提示：注意两个积分区域的边界条件
步骤 2/3
目标：画出积分区域
整体区域由x=0，y=1，y=x，x+y=2围成，且0≤x≤1，x≤y≤2-x。
提示：画出图形有助于理解区域形状
步骤 3/3
目标：化为先y后x的积分
积分区域可表示为：0≤x≤1，x≤y≤2-x，因此累次积分为∫₀¹ dx ∫ₓ²⁻ˣ f(x,y) dy。
公式：∫₀¹ dx ∫ₓ²⁻ˣ f(x,y) dy
提示：注意y的下限为x，上限为2-x
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