kaoyan1basic 高等数学 第258题
📝 题目
## 第258题 (高等数学 - 选择题) 设 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，则在极坐标系 $(r, \theta)$ 中的累次积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$可化为直角坐标系 $(x, y)$ 中的累次积分 （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y$ ． （C） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （D） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：极坐标下，$r$从$\displaystyle \frac{1}{\cos\theta+\sin\theta}$到$1$，$\theta$从$0$到$\displaystyle \frac{\pi}{2}$。$\displaystyle r=\frac{1}{\cos\theta+\sin\theta}$对应直线$x+y=1$，$r=1$对应圆$x^2+y^2=1$。 步骤2：直角坐标下，区域为$0\leq x\leq1$，$1-x\leq y\leq\sqrt{1-x^2}$，且积分微元$rdrd\theta=dxdy$，但被积函数为$f(r\cos\theta,r\sin\theta)$，直接换元后为$f(x,y)$，无需除以$r$。注意极坐标变换中，$dxdy=rdrd\theta$，原积分$\int\int f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta$，而题目中积分是$\int\int f(r\cos\theta,r\sin\theta)drd\theta$，缺少$r$因子，故化为直角坐标时应补回$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$。 步骤3：因此直角坐标下为$\displaystyle \int_0^1 dx\int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}dy$。 **难度**：★★★☆☆